С помощью метода наименьших квадратов.
Регрессионная модель объединяет широкий класс универсальных функций, которые описывают некоторую закономерность. При этом для построения модели в основном используются измеряемые данные, а не знание свойств исследуемой закономерности. Такая модель часто неинтерпретируема, но более точна. Это объясняется либо большим числом моделей-претендентов, которые используются для построения оптимальной модели, либо большой сложностью модели. Нахождение параметров регрессионной модели называется обучением модели .
Недостатки регрессионного анализа: модели, имеющие слишком малую сложность, могут оказаться неточными, а модели, имеющие избыточную сложность, могут оказаться переобученными .
В управлении и планировании существует целый ряд типовых задач, которые можно переложить на плечи компьютера. Пользователь таких программных средств может даже и не знать глубоко математику, стоящую за применяемым аппаратом. Он должен представлять лишь суть решаемой проблемы, готовить и вводить в компьютер исходные данные, интерпретировать полученные результаты. Программным продуктом, который можно использовать для этих целей, является Ms Excel .
Ms Excel - это не просто электронная таблица с данными и формулами для вычислений. Это универсальная система обработки данных, которая может использоваться для анализа и представления данных в наглядной форме.
Одной из чаще всего используемых возможностей Excel является экстраполяция данных - например, для анализа имеющихся фактических данных, оценки тенденции их изменения и получения на этой основе краткосрочного прогноза на будущее. В этом случае используется линейная экстраполяция данных на основе наименьшего квадратичного отклонения - отыскивается линейная зависимость данных, такая, которая бы минимизировала сумму квадратов разностей между имеющимися фактическими данными и соответствующими значениями на прямой линейного тренда (интерполяционной или экстраполяционной зависимости). На основе найденной зависимости можно сделать разумное предположение об ожидаемых будущих значениях изучаемого ряда данных.
Решение задач планирования и управления постоянно требует учета зависимостей одних факторов от других.
Рассмотрим различные методы представления зависимостей.
Если зависимость между величинами удаётся представить в математической форме, то имеем математическую модель.
Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Математические модели могут быть представлены в виде формул, уравнений или систем уравнений. Например, зависимость времени падения тела на землю от первоначальной высоты описывается формулой . Рассмотрим примеры других способов представления зависимостей между величинами: табличного и графического . По результатам эксперимента мы составили таблицу и нарисовали график (рисунок 1).
| Н (м) | t (сек) |
| 1,1 1,4 1,6 1,7 1,9 2,1 2,2 2,3 2,5 |
Рисунок1. Табличное и графическое представление данных.
Мы рассмотрели три способа отображения зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический. Но математической моделью процесса падения тела на землю можно назвать только формулу, т.к. формула универсальна. Таблица и диаграмма (график) констатируют факты, а математическая модель позволяет прогнозировать, предсказывать путем расчетов.
Статистические данные всегда являются приближенными, усредненными. Поэтому они носят оценочный характер. Однако, они верно отражают характер зависимости величин. И еще одно важное замечание: для достоверности результатов, полученных путем анализа статистических данных, этих данных должно быть много.
График искомой функции должен проходить близко к точкам диаграммы экспериментальных данных. Строить функцию так, чтобы ёе график точно проходил через все данные точки (рисунок 2), не имеет смысла. Во-первых, математический вид такой функции может оказаться слишком сложным. Во-вторых, уже говорилось о том, что экспериментальные значения являются приближенными.
Отсюда следуют основные требования к искомой функции:
Она должна быть достаточно простой для использования её в дальнейших вычислениях;
График этой функции должен проходить вблизи экспериментальных точек так, чтобы отклонения этих точек от графика были минимальны и равномерны (рисунок 3).
Рисунок 3. Два варианта построения графической зависимости по экспериментальным данным.
Полученную функцию, график которой приведен на рисунке 3(б), принято называть в статистике регрессионной моделью. Регрессионная модель - это функция, описывающая зависимость между количественными характеристиками сложных систем.
Получение регрессионной модели происходит в два этапа:
1. Подбор вида функции;
2. Вычисление параметров функции.
Чаще всего выбор производится среди следующих функций:
y = ax + b - линейная функция;
y = ax 2 + bx + c - квадратичная функция;
y = aln(x) + b - логарифмическая функция;
y = ae bx - экспоненциальная функция;
y = ax b - степенная функция.
Если Вы выбрали (сознательно или наугад) одну из предлагаемых функций, то следующим шагом нужно подобрать параметры (a ,b, c и пр.) так, чтобы функция располагалась как можно ближе к экспериментальным точкам. Для этого подходит метод наименьших квадратов (МНК). Суть его заключается в следующем: искомая функция должна быть построена так, чтобы сумма квадратов отклонений у - координат всех экспериментальных точек от у - координат графика функции была бы минимальной.
Важно понимать следующее : методом наименьших квадратов по данному набору экспериментальных точек можно построить любую функцию. А вот будет ли она нас удовлетворять, это уже другой вопрос - вопрос критерия соответствия. На рисунке 4 изображены 3 функции, построенные методом наименьших квадратов.
Рисунок 4
Данные рисунки получены с помощью Ms Excel. График регрессионной модели называется трендом (trend - направление, тенденция).
График линейной функции - это прямая. Полученная по методу МНК прямая отражает факт роста заболеваемости от концентрации угарного газа, но по этому графику трудно что - либо сказать о характере этого роста. А вот квадратичный и экспоненциальный тренды - ведут себя очень правдоподобно.
На графиках присутствует ещё одна величина, полученная в результате построения трендов. Она обозначена как R 2 . В статистике эта величина называется коэффициентом детерминированности. Именно она определяет, насколько удачной получится регрессионная модель. Коэффициент детерминированности всегда заключен в диапазоне от 0 до 1. Если он равен 1, то функция точно проходит через табличные значения, если 0, то выбранный вид регрессионной модели неудачен. Чем R 2 ближе к 1, тем удачнее регрессионная модель.
Метод наименьших квадратов используется для вычисления параметров регрессионной модели. Этот метод содержится в математическом арсенале электронных таблиц.
Получив регрессионную математическую модель мы можем прогнозировать процесс путем вычислений. Теперь можно оценить уровень заболеваемости астмой не только для тех значений концентрации угарного газа, которые были получены путем измерений, но и для других значений. Это очень важно с практической точки зрения. Например, если в городе планируется построить завод, который будет выбрасывать в атмосфере угарный газ, то, рассчитав возможную концентрацию газа, можно предсказать, как это отразится на заболеваемости астмой жителей города.
Существуют два способа прогнозов по регрессионной модели. Если прогноз производится в пределах экспериментальных значений независимой переменной (в нашем случае это значение концентрации угарного газа - С), то это называется восстановлением значения .
Прогнозирование за пределами экспериментальных данных называется экстраполяцией.
Имея регрессионную модель, легко прогнозировать, производя расчеты с помощью электронной таблицы.
Табличный процессор дает возможность производить экстраполяцию графическим способом, продолжая тренд за пределы экспериментальных данных. Как это выглядит при использовании квадратичного тренда для С = 7 показано на рисунке 5.
Рисунок 5
В ряде случаев с экстраполяцией надо быть осторожным. Применимость всякой регрессионной модели ограничена, особенно за пределами экспериментальной области.
Список литературы.
1. Новиков Ф.А., Яценко А.Д.. Microsoft Office. С.-П.:БХВ-Петербург, 2002г. стр.449-458
2. Семакин И.Г., Хеннер Е.К. Информатика.11класс. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003г. стр.102-117
Методы множественной линейной регрессии, которые мы обсуждаем, могут быть очень полезными, но также и очень опасными, если они неверно используются или интерпретируются. Прежде чем приступать к большой задаче с применением методов множественной регрессии, имеет смысл, насколько это возможно, предварительно спланировать всю работу применительно к конкретной цели и наметить контрольные мероприятия, проводимые по ходу дела. Такое планирование будет предметом данной главы. Прежде, однако, мы обсудим три основных типа математических моделей, часто используемые в науке:
1. Функциональная модель.
2. Модель для управления.
3. Модель для предсказания.
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
Если в некоторой задаче известна «истинная» функциональная связь между откликом и предикторами, то экспериментатор в силах понять и предсказать отклик, да и управлять им 1. Однако в жизни редко встречаются ситуации, когда можно предложить подобную модель. Но даже и в этих случаях функциональные уравнения обычно очень сложны, трудны для понимания и применения и имеют чаще всего нелинейный вид. В наиболее сложных случаях может потребоваться численное интегрирование таких уравнений. Примеры нелинейных моделей упоминались в гл. 5, а их построение будет обсуждаться в гл. 10. Для таких моделей линейные регрессионные методы неприменимы или применимы только для аппроксимации истинных моделей в итеративных процедурах оценивания.
Модель для управления
Функциональная модель, даже если она известна полностью, не всегда пригодна для управления выходной переменной (откликом). Например, в задаче про пар, используемый на заводе, одна из наиболее важных переменных - наружная температура, а она
ничего лучшего, можно выбрать и линию поведения для дальнейшего экспериментирования, уточнив важные переменные, и, что очень полезно, отсеять несущественные переменные.
Вместе с тем применение множественной регрессии требует особой осторожности, чтобы избежать непонимания и неверных выводов. Организация схемы для решения задач с помощью методов множественного регрессионного анализа не только полезна, но и необходима.
Рис. 8.1. Блок-схема процедуры построения модели
Эта глава - только план, а любое использование предложенной или подобной схемы будет требовать специальной «настройки» на конкретную ситуацию.
Хотя приведенный ниже план предназначен для разработки предсказывающей математической модели, он является достаточно общим; им можно воспользоваться при построении как функциональных, так и управляющих моделей. Особое внимание обратим на задачи с «неуправляемыми данными». Схема делится на три стадии - планирование, разработку и использование. Блок-схема приведена на рис. 8.1, и в дальнейшем она будет детально обсуждена.
Суть регрессионного анализа : построение математической модели и определение ее статистической надежности.
Вид множественной линейной модели регрессионного анализа: Y = b 0 + b 1 x i1 + ... + b j x ij + ... + b k x ik + e i где e i - случайные ошибки наблюдения, независимые между собой, имеют нулевую среднюю и дисперсию s .
Назначение множественной регрессии : анализ связи между несколькими независимыми переменными и зависимой переменной.
Экономический смысл параметров множественной регрессии
Коэффициент множественной регрессии b j
показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y
, если переменную X j
увеличить на единицу измерения, т. е. является нормативным коэффициентом.
Матричная запись множественной линейной модели регрессионного анализа:
Y = Xb + e
где Y
(n x 1)
наблюдаемых значений результативного признака (y 1 , y 2 ,..., y n
);
X
- матрица размерности [n x (k+1)
] наблюдаемых значений аргументов;
b
- вектор - столбец размерности [(k+1) x 1
] неизвестных, подлежащих оценке параметров (коэффициентов регрессии) модели;
e
- случайный вектор - столбец размерности (n x 1)
ошибок наблюдений (остатков).
Задачи регрессионного анализа
Основная задача регрессионного анализа заключается в нахождении по выборке объемом n
оценки неизвестных коэффициентов регрессии b 0 , b 1 ,..., b k
.
Задачи регрессионного анализа состоят в том, чтобы по имеющимся статистическим данным для переменных X i
и Y
:
- получить наилучшие оценки неизвестных параметров b 0 , b 1 ,..., b k ;
- проверить статистические гипотезы о параметрах модели;
- проверить, достаточно ли хорошо модель согласуется со статистическими данными (адекватность модели данным наблюдений).
Построение моделей множественной регрессии состоит из следующих этапов:
- выбор формы связи (уравнения регрессии);
- определение параметров выбранного уравнения;
- анализ качества уравнения и поверка адекватности уравнения эмпирическим данным, совершенствование уравнения.
- Множественная регрессия с одной переменной
- Множественная регрессия с тремя переменными
Инструкция . Укажите количество данных (количество строк), количество переменных x нажмите Далее.
Пример решения нахождения модели множественной регрессии
Множественная регрессия с двумя переменными
Модель множественной регрессии
вида Y = b 0 +b 1 X 1 + b 2 X 2 ;
1) Найтинеизвестные b 0 , b 1 ,b 2 можно, решим систему трехлинейных уравнений с тремя неизвестными b 0 ,b 1 ,b 2: 
Для решения системы можете воспользоваться
2) Или использовав формулы
Для этого строим таблицу вида:
| Y | x 1 | x 2 | (y-y ср) 2 | (x 1 -x 1ср) 2 | (x 2 -x 2ср) 2 | (y-y ср)(x 1 -x 1ср) | (y-y ср)(x 2 -x 2ср) | (x 1 -x 1ср)(x 2 -x 2ср) |
Выборочные дисперсии эмпирических коэффициентов множественной регрессии можно определить следующим образом: 
Здесь z" jj - j-тый диагональный элемент матрицы Z -1 =(X T X) -1 . 
Приэтом:
где m - количество объясняющихпеременных модели.
В частности, для уравнения множественной регрессии Y = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 с двумя объясняющими переменными используются следующие формулы:
Или 
или
,,.
Здесьr 12 - выборочный коэффициент корреляции между объясняющимипеременными X 1 и X 2 ; Sb j - стандартная ошибкакоэффициента регрессии; S - стандартная ошибка множественной регрессии (несмещенная оценка).
По аналогии с парной регрессией после определения точечных оценокb j коэффициентов β
j (j=1,2,…,m) теоретического уравнения множественной регрессии могут быть рассчитаны интервальные оценки указанных коэффициентов.
Доверительный интервал, накрывающий с надежностью (1-α
) неизвестное значение параметра β
j, определяется как 
Множественная регрессия в Excel
Чтобы найти параметры множественной регресии средствами Excel, используется функция ЛИНЕЙН(Y;X;0;1),
где Y - массив для значений Y
где X - массив для значений X (указывается как единый массив для всех значений Х i)
Проверка статистической значимости коэффициентов уравнения множественной регрессии
Как и в случае множественной регрессии, статистическая значимость коэффициентовмножественной регрессии с m объясняющими переменными проверяется на основе t-статистики:
имеющей в данном случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы v = n- m-1. При требуемом уровне значимости наблюдаемое значение t-статистики сравнивается с критической точной распределения Стьюдента.
В случае, если , то статистическая значимость соответствующего коэффициента множественной регрессии подтверждается. Это означает, что фактор Xj линейно связан с зависимой переменной Y. Если же установлен факт незначимости коэффициента b j , то рекомендуется исключить из уравнения переменную Xj. Это не приведет к существенной потере качества модели, но сделает ее более конкретной.
Для этой цели, как и в случае множественной регрессии, используется коэффициентдетерминации R 2: 
Справедливо соотношение 0<=R2<=1. Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение множественной регрессии объясняет поведение Y.
Длямножественной регрессии
коэффициент детерминации является неубывающей функциейчисла объясняющих переменных. Добавление новой объясняющей переменной никогда не уменьшает значение R 2 , так как каждая последующая переменная может лишь дополнить, но никак не сократить информацию, объясняющую поведение зависимой переменной. 
Соотношение может быть представлено вследующем виде: 
для m>1. С ростом значения m
Показатели F и R2 равны или не равен нулю одновременно. Если F=0, то R 2 =0, следовательно, величина Y линейно не зависит от X1,X2,…,Xm..Расчетное значение F сравнивается с критическим Fкр. Fкр, исходя из требуемого уровня значимости α
и чисел степеней свободы v1 = m и v2 = n - m - 1, определяется на основе распределения Фишера. Если F>Fкр, то R 2 статистически значим.
Проверка выполнимости предпосылок МНК множественной регрессии. Статистика Дарбина-Уотсона для множественной регрессии
Статистическая значимость коэффициентов множественной регрессии и близкое к единице значение коэффициента детерминации R 2 не гарантируют высокое качество уравнения множественной регрессии. Поэтому следующим этапом проверки качества уравнения множественной регрессии является проверка выполнимости предпосылок МНК. Причины и последствия невыполнимости этих предпосылок, методы корректировки регрессионных моделей будут рассмотрены в последующих главах. В данном параграфе рассмотрим популярную в регрессионном анализе статистику Дарбина-Уотсона.
При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой.
При этом проверяется некоррелированность соседних величин e i
,i=1,2,…n..
Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона: 
Критические значения d 1
и d 2
определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α
, числа наблюдений n
и количества объясняющих переменных m
.
Частные коэффициенты корреляции при множественной регрессии
Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на у фактора х i при неизменном уровне других факторов определяются по стандартной формуле линейного коэффициента корреляции, т.е. последовательно беруться пары yx 1 ,yx 2 ,... , x 1 x 2 , x 1 x 3 и так далее и для каждой пары находится коэффициент корреляции
Вычисления в MS Excel
. Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать, используя инструмент анализа данных Корреляция. Для этого:
1) Выполнить команду Сервис / Анализ данных / Корреляция
.
2) Указать диапозон данных;
Проверка общего качества уравнения множественной регрессии
Для этой цели, как и в случае множественной регрессии, используется коэффициентдетерминации R 2
:
Справедливо соотношение 0 < =R 2 < = 1
. Чем ближе этот коэффициент к единице, тем больше уравнение множественной регрессии объясняет поведение Y
.
Для множественной регрессии
коэффициент детерминации является неубывающей функцией числа объясняющих переменных. Добавление новой объясняющей переменной никогда не уменьшает значение R 2
, так как каждая последующая переменная может лишь дополнить, но никак не сократить информацию, объясняющую поведениезависимой переменной.
Иногда при расчете коэффициента детерминации для получения несмещенных оценок в числителе и знаменателе вычитаемой из единицы дроби делается поправка на число степеней свободы, т.е. вводится так называемый скорректированный (исправленный) коэффициент детерминации:
Соотношение может быть представлено в следующем виде:
для m>1. С ростом значения mскорректированный коэффициент детерминации
растет медленнее, чем обычный.Очевидно, что только при R 2 = 1. может принимать отрицательные значения.
Доказано, что увеличивается при добавлении новой объясняющей переменной тогда и только тогда, когда t-статистика для этой переменной по модулю больше единицы. Поэтому добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации.
Рекомендуется после проверки общего качества уравнения регрессии провести анализ его статистической значимости. Для этого используется F-статистика:
Показатели F
и R 2
равны или не равен нулю одновременно. Если F=0
, то R 2 =0, следовательно, величина Y
линейно не зависит от X 1 ,X 2 ,…,X m
.Расчетное значение F
сравнивается с критическим Fкр. Fкр
, исходя из требуемого уровня значимости α
и чисел степеней свободы v 1 = m
и v 2 = n - m - 1
, определяется на основе распределения Фишера. Если F > Fкр
, то R 2
статистически значим.
Пусть задан некоторый стохастический объект, входная и выходная координата которого Х и Y являются случайными величинами.
На Y влияет не только входная координата Х, но и случайная помеха Z (нестабильность режима работы объекта, стохастические воздействия среды, погрешности изменений Y и т.д.). Поэтому нельзя говорить о функциональной зависимости Y от Х. В подобных случаях следует говорить о наличии стохастической связи между переменными Х и Y объектов статики.
Случайные величины Х и Y являются зависимыми, если закон распределения вероятностей одной из них зависит от значения другой.
- условно интегральный закон распределения вероятностей;
- условная плотность распределения вероятностей;
Предположим, можно установить, что , тогда поведение сложной величины Y будет полностью характеризоваться условной плотностью распределения вероятностей .
Обозначим условные числовые характеристики Y:
- математическое ожидание;
Дисперсия;
Не зависит от х, а параметры функции плотности и зависит от того, какое значение х примет величина Х. Зависимость х называется регрессионной.
- регрессионная зависимость, показывает, как изменяется среднее значение Y при изменении Х. Если соединить плавными линиями точки, то получим линию регрессии. Эта линия есть статическая характеристика объекта.
Уравнением регрессии называют функцию f(x), описывающую линию регрессии. Уравнения регрессии классифицируют на линейные и нелинейные. При построении регрессионной модели объекта широко применяется пассивный метод идентификации.
Этот метод применяют при изучении статики объекта, уравнений помех, а также в тех случаях, когда недопустимы величины исходных возмущений на входе объекта. Пассивный метод идентификации основан на получении статической информации об объекте по данным его нормальной эксплуатации. Затем реализация входных х и выходных y величин обрабатываются т.о., чтобы определить регрессивную модель.
, где - вектор коэффициентов модели.
Определение уравнения регрессии состоит из 2 этапов:
1. выбор типа уравнения регрессии – осуществляется либо путем эмпирического выбора типа уравнения регрессии по виду корреляционного поля между входными и выходными величинами, либо путем теоретического изучения закономерности физического процесса, отражением которого является стохастическая связь между этими величинами. Иногда оба подхода используются в сочетании друг с другом.
2. расчет коэффициентов уравнения регрессии – чаще всего выполняется методом наименьших квадратов .
Следует отметить, что пассивный статический метод имеет ряд существенных недостатков по сравнению с активным методом:
1.получение модели объекта справедливо только в пределах используемого экспериментального статического материала.
2.трудно разделить эффекты от корреляции части входных величин многомерного объекта.
3.индивидуальные коэффициенты регрессии не имею какого-либо физического смысла.
4.не извлекается информация об ошибке опыта.
5.требуется получить большой объем экспериментальных данных и производить трудоемкие вычисления.
Указанные недостатки в значительной степени снижают ценность модели, полученной пассивным методом. К этому методу прибегают только в тех случаях, когда другие методы не могут быть использованы.
Предварительный анализ экспериментального статического материала составляет основную задачу корреляционного анализа при идентификации стохастического объекта. При этом суть корреляционного анализа сводится к оценке силы стохастической связи между случайными величинами Х и Y и по установлению вида зависимости между ними в виде уравнения регрессии. Чтобы предварительно определить наличие характерной связи между Х и Y наносят экстремальные точки и . На графике строят корреляционное поле.
а-сильноотрицательная корреляция
б-сильноположительная корреляция
в-слабоположительная корреляция
г,д-отсутствие корреляции
По тесноте группирования точек вокруг прямой возможно судить о корреляционной связи.
Корреляционное поле характеризует вид связи между Х и Y, т.е. наличие линейной и нелинейной зависимости:
Существует 3 вида корреляции:
1)линейная;
2)нелинейная;
3)множественная;
При линейной корреляции линейная регрессия апраксимируется уравнением прямой, при нелинейной – уравнением кривой. Множественная корреляция определяет связь между многими величинами и при этом используется уравнение множественной регрессии. Наиболее распространенной является линейная корреляция. Понятие корреляции дает возможность судить о том, насколько тесно находятся экспериментальные точки на апраскимированной кривой линии регрессии.
Если регрессия определяет предполагаемые соотношения между переменными, то корреляция показывает, насколько хорошо это соотношение отражает действительность.
Задача стохастического объекта ставится таким образом: по данным выборки объема n оценить силу (тесноту) корреляционной связи между Х и Y, найти уравнение регрессии и оценить допустимую ошибку.
1. Основные определения и формулы
Множественная регрессия
- регрессия между переменными и 
т.е. модель вида:
где - зависимая переменная (результативный признак);
- независимые объясняющие переменные;
Возмущение или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных в модели факторов;
Число параметров при переменных
Основная цель множественной регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.
Уравнение множественной линейной регрессии
в случае независимых переменных имеет вид а в случае двух независимых переменных - 
(двухфакторное уравнение).
Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов . Строится система нормальных уравнений:
Решение этой системы позволяет получить оценки параметров регрессии с помощью метода определителей
где 
- определитель системы;
- частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными правой части системы.
Для двухфакторного уравнения коэффициенты множественной линейной регрессии можно вычислить по формулам:
Частные уравнения регрессии
характеризуют изолированное влияние фактора на результат, ибо другие факторы закреплены на неизменном уровне. Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения множественной регрессии. Это позволяет на основе частных уравнений регрессии 
определять частные коэффициенты эластичности
:
Средние коэффициентами эластичности показывают на сколько процентов в среднем изменится результат при изменении соответствующего фактора на 1%:
Их можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.
Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает коэффиц и ент (индекс) множественной корреляции :
Величина индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции: 
Чем ближе значение индекса множественной корреляции к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов.
Сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности (величина индекса множественной корреляции существенно отличается от индекса парной корреляции) включения в уравнение регрессии того или иного фактора.
При линейной зависимости совокупный коэффициент множественной ко р реляции определяется через матрицу парных коэффициентов корреляции:
где 
- определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
- определитель матрицы межфакторной корреляции.
Частны е коэффициент ы корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов. Если вычисляется, например, (частный коэффициент корреляции между и при фиксированном влиянии ), это означает, что определяется количественная мера линейной зависимости между и которая будет иметь место, если устранить влияние на эти признаки фактора
Частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на фактора при неизменном уровне других факторов, можно определить как:
или по рекуррентной формуле:
Для двухфакторного уравнения:
или
Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до +1.
Сравнение значений парного и частного коэффициентов корреляции показывает направление воздействия фиксируемого фактора. Если частный коэффициент корреляции получится меньше, чем соответствующий парныйкоэффициент значит взаимосвязь признаков и в некоторой степени обусловлена воздействием на них фиксируемой переменной И наоборот, большее значение частного коэффициента по сравнению с парным свидетельствует о том, что фиксируемая переменная ослабляет своим воздействием связь и
Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается. Например, - коэффициент частной корреляции первого порядка.
Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго и более высокого порядка), можно определить совокупный коэффициент мн о жественной корреляции :
Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) множественной детерминации , который рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции: Индекс множественной детерминации фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии факторов. Влияние других, не учтенных в модели факторов, оценивается как
Если число параметров при близко к объему наблюдений, то коэффициент множественной корреляции приблизится к единице даже при слабой связи факторов с результатом. Для того чтобы не допустить возможногопреувеличения тесноты связи, используется скорректированный индекс множественной корреляции , который содержит поправку на число степеней свободы:
Чем больше величина тем сильнее различия и
Значимость частных коэффициентов корреляции проверяется аналогично случаю парных коэффициентов корреляции. Единственным отличием является число степеней свободы, которое следует брать равным =--2.
Значимость уравнения множественной регрессии в целом , так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью - критерия Фишера :
Мерой для оценки включения фактора в модель служит частный -критерий . В общем виде для фактора частный -критерий определяется как
Для двухфакторного уравнения частные -критерии имеют вид:
Если фактическое значение превышает табличное, то дополнительное включение фактора в модель статистически оправданно и коэффициент чистой регрессии при факторе статистически значим. Если же фактическое значение меньше табличного, то фактор нецелесообразно включать в модель, а коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.
Для оценки значимости коэффициентов чистой регрессии по -критерию Стьюдента используется формула:
где - коэффициент чистой регрессии при факторе
- средняя квадратическая (стандартная) ошибка коэффициента регрессии которая может быть определена по формуле:
При дополнительном включении в регрессию нового фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться. Если это не так, то включаемый в анализ новый фактор не улучшает модель и практически является лишним фактором. Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по -критерию Стьюдента.
При построении уравнения множественной регрессии может возникнуть проблема мультиколлинеарности факторов. Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами.
Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться опред е литель матрицы между факторами . Чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И наоборот, чем ближе к 1 определитель, тем меньше мультиколлинеарность факторов.
Для применения МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это означает, что для каждого значения фактора остатки 
имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность
. При нарушении гомоскедастичности выполняются неравенства 
Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции (рис. 9.22).
Рис. 9.22 . Примеры гетероскедастичности:
а) дисперсия остатков растет по мере увеличения
б) дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях переменной и уменьшается при минимальных и максимальных значениях
в) максимальная дисперсия остатков при малых значениях и дисперсия остатков однородна по мере увеличения значений
Для проверки выборки на гетероскедастичность можно использовать метод Гольдфельда-Квандта (при малом объеме выборки) или критерий Бартлетта (при большом объеме выборки).
Последовательность применения теста Гольдфельда-Квандта :
1) Упорядочить данные по убыванию той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность.
2) Исключить из рассмотрения центральных наблюдений. При этом 
где - число оцениваемых параметров. Из экспериментальных расчетов для случая однофакторного уравнения регрессии рекомендовано при =30 принимать =8, а при =60 соответственно =16.
3) Разделить совокупность из наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора ) и определить по каждой из групп уравнение регрессии.
4) Вычислить остаточную сумму квадратов для первой и второй групп и найти их отношение 
где При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение будет удовлетворять -критерию Фишера со степенями свободы 
для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина превышает тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.
Если необходимо включить в модель факторы, имеющие два или более качественных уровней (пол, профессия, образование, климатические условия, принадлежность к определенному региону и т.д.), то им должны быть присвоены цифровые метки, т.е. качественные переменные преобразованы в количественные. Такого вида сконструированные переменные называют фиктивными (и с кусственными) переменными .
К оэффициент регрессии при фиктивной переменной интерпретируется как среднее изменение зависимой переменной при переходе от одной категории к другой при неизменных значениях остальных параметров. Значимость влияния фиктивной переменной проверяется с помощью -критерия Стьюдента.
2. Решение типовых задач
Пример 9. 2. По 15 предприятиям отрасли (табл. 9.4) изучается зависимость затрат на выпуск продукции (тыс. ден. ед.) от объема произведенной продукции (тыс. ед.) и расходов на сырье (тыс. ден. ед). Необходимо:
1) Построить уравнение множественной линейной регрессии.
2) Вычислить и интерпретировать:
Средние коэффициенты эластичности;
Парные коэффициенты корреляции, оценить их значимость на уровне 0,05;
Частные коэффициенты корреляции;
Коэффициент множественной корреляции, множественный коэффициент детерминации, скорректированный коэффициент детерминации.
3) Оценить надежность построенного уравнения регрессии и целесообразность включения фактора после фактора и после
Таблица 9.4
|
x 1 |
x 2 |
||
Решение:
1) В Excel составим вспомогательную таблицу рис. 9.23.
Рис. 9.23 . Расчетная таблица многофакторной регрессии.
С помощью встроенных функций вычислим: =345,5; =13838,89; =8515,78; =219,315; =9,37; =6558,08.
Затем найдем коэффициенты множественной линейной регрессии и оформим вывод результатов как на рис. 9.24.
Рис. 9.24 . Решение задачи в MS Excel
Для вычисления значения коэффициента используем формулы
Формулы для вычисления параметров заносим в ячейки Е 20 , Е 2 1, Е 2 2. Так длявычисления параметра b 1 в Е 20 поместим формулу =(B20*B24-B21*B22)/(B23*B24-B22^2) и получим 29,83. Аналогично получаем значения =0,301 и Коэффициент =-31,25 (рис. 9.25.).
Рис. 9.25 . Вычисление параметров уравнения множественной регрессии (в с т роке формул формула для расчета b 2) .
Уравнение множественной линейной регрессии примет вид:
31,25+29,83+0,301
Таким образом, при увеличении объема произведенной продукции на 1 тыс. ед. затраты на выпуск этой продукции в среднем увеличатся на 29,83 тыс. ден. ед., а при увеличении расходов на сырье на 1 тыс. ден. ед. затраты увеличатся в среднем на 0,301 тыс. ден. ед.
2) Для вычисления средних коэффициентов эластичности воспользуемся формулой: Вычисляем: =0,884 и =0,184. Т.е. увеличение только объема произведенной продукции (от своего среднего значения) или только расходов на сырье на 1% увеличивает в среднем затраты на выпуск продукции на 0,884% или 0,184% соответственно. Таким образом, фактор оказывает большее влияние на результат, чем фактор
Для вычисления парных коэффициентов корреляции воспользуемся функцией «КОРРЕЛ» рис. 9.26.
Рис. 9.26 . Вычисление парных коэффициентов корреляции
Значения парных коэффициентов корреляции указывают на весьма тесную связь с и на тесную связь с В то же время межфакторная связь очень сильная (=0,88>0,7), что говорит о том, что один из факторов является неинформативным, т.е. в модель необходимо включать или или
З начимост ь парных коэффициентов корреляции оценим с помощью -критерия Стьюдента. =2,1604 определяем с помощью встроенной статистической функции СТЬЮДРАСПОБР взяв =0,05 и =-2=13.
Фактическое значение -критерия Стьюдента для каждого парного коэффициента определим по формулам: 
. Результат расчета представлен на рис. 9.27.
Рис. 9.27 . Результат расчета фактических значений -критерия Стьюдента
Получим =12,278; =7,1896; =6,845.
Так как фактические значения -статистики превосходят табличные, то парные коэффициенты корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
Получим =0,81; =0,34; =0,21. Таким образом, фактор оказывает более сильное влияние на результат, чем
При сравнении значений коэффициентов парной и частной корреляции приходим к выводу, что из-за сильной межфакторной связи коэффициенты парной и частной корреляции отличаются довольно значительно.
Коэффициент множественной корреляции
Следовательно, зависимость от и характеризуется как очень тесная, в которой =93% вариации затрат на выпуск продукции определяются вариацией учтенных в модели факторов: объема произведенной продукции и расходов на сырье. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 7% от общей вариации
Скорректированный коэффициент множественной детерминации
=0,9182 указывает на тесную связь между результатом и признаками.
Рис. 9.28 . Результаты расчета частных коэффициентов корреляции и коэфф и циента множественной корреляции
3) Оценим надежность уравнения регрессии в целом
с помощью -критерия Фишера. Вычислим 
. =3,8853 определяем взяв =0,05, =2, =15-2-1=12 помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР
с такими же параметрами.
Так как фактическое значение больше табличного, то с вероятностью 95% делаем заключение о статистической значимости уравнения множественной линейной регрессии в целом.
Оценим целесообразность включения фактора после фактора и после с помощью частного -критерия Фишера по формулам
; 
.
Для этого в ячейку B32 заносим формулу для расчета F x 1 «=(B28- H24^2)*(15-3)/(1-B28) », а в ячейку B 33 формулу для расчета F x 2 «=(B28-H23^2)*(15-3)/(1-B28) », результат вычисления F x 1 = 22,4127, F x 2 = 1,5958. Табличное значение критерия Фишера определим с помощью встроенной функции FРАСПОБР с параметрами =0,05, =1, =12 «=FРАСПОБР(0,05; 1 ;12) », результат - =4,747. Так как =22,4127>=4,747, а =1,5958<=4,747, то включение фактора в модель статистически оправдано и коэффициент чистой регрессии статистически значим, а дополнительное включение фактора после того, как уже введен фактор нецелесообразно (рис. 9.29).
Рис. 9.29 . Результаты расчета критерия Фишера
Низкое значение (немногим больше 1) свидетельствует о статистической незначимости прироста за счет включения в модель фактора после фактора Это означает, что парная регрессионная модель зависимости затрат на выпуск продукции от объема произведенной продукции является достаточно статистически значимой, надежной и что нет необходимости улучшать ее, включая дополнительный фактор (расходы на сырье).
3. Дополнительные сведения для решения задач с помощью MS Excel
Сводные данные основных характеристик для одного или нескольких массивов данных можно получить с помощью инструмента анализа данных Опис а тельная статистика . Порядок действий следующий:
1. Необходимо проверить доступ к Пакету анализа . Для этого в ленте выбираем вкладку «Данные», в ней раздел «Анализ» (рис. 9.30.).
Рис. 9.30 . Вкладка данные диалоговое окно «Анализ данных»
2. В диалоговом окне «Анализ данных» выбрать Описательная стат и стика и нажать кнопку «ОК», в появившемся диалоговом окне заполните необходимые поля (рис. 9.31):
Рис.
9.31
.
Диалоговое окно ввода параметров инструмента
«
Описательная статистика
»
Входной интервал - диапазон, содержащий данные результативного и объясняющих признаков;
Группирование - указать, как расположены данные (в столбцах или строках);
Метки - флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;
Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;
Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа, на который будут выведены результаты.
Для получения информации Итоговой статистики, Уровня наде ж ности, -го наибольшего и наименьшего значений нужно установить соответствующие флажки в диалоговом окне.
Получаем следующую статистику (рис. 2.10).
